RC 회로 완벽 정리: 시간 응답부터 필터 응용까지

전자회로의 기초이자 필수 요소 중 하나인 RC 회로는 저항(Resistor, R)과 커패시터(Capacitor, C)로 구성되어 있으며, 시간 및 주파수 영역에서의 응답 특성이 매우 중요합니다. 이 글에서는 RC 회로의 구조, 시간 응답, 주파수 응답, 그리고 필터로서의 활용까지 한눈에 정리해보겠습니다.

Table of Contents

🔹 RC 회로란?

RC 회로는 저항과 커패시터를 조합하여 만든 회로입니다. 이 회로는 전압이나 전류가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명해주는 1차 지연 시스템(first-order lag system)의 대표적인 예입니다.

🔹 회로 구성

대표적인 RC 회로는 다음과 같은 직렬 연결 구조를 가집니다:

전압원 $V_{in}$
직렬로 연결된 저항 $R$
커패시터 $C$
출력 전압은 커패시터 양단의 전압 $V_C$

📷 아래는 RC 로우패스 필터 회로도입니다.
LPF

🔹 시간 응답 분석

▫ 커패시터 충전

전원이 인가되었을 때 커패시터의 전압은 아래와 같이 시간에 따라 증가합니다:

$V_C(t) = V_{in} \left(1 - e^{-t / RC} \right)$

$V_C(t)$ : 시간 $t$ 에서의 커패시터 전압
$RC$ : 시정수(time constant), $\tau = RC$

▫ 커패시터 방전

전원이 제거되면 커패시터는 아래와 같이 방전됩니다:

$V_C(t) = V_0 e^{-t / RC}$

$V_0$ : 초기 전압

▫ 시정수란?

시정수 $\tau = RC$ 는 회로의 응답 속도를 결정하는 값입니다.

$t = \tau$ 일 때: 최종값의 약 63.2% 도달
$t = 5\tau$ 일 때: 약 99.3% 도달 (거의 완전히 충전됨)

🖼️ 아래의 그래프는 충전과 방전 곡선을 보여줍니다.
RC time response

🔹 주파수 응답 분석: 로우패스 필터

RC 회로는 주파수 특성에 따라 필터로서도 활용됩니다.

▫ 전압 전달 함수

입력 전압을 $V_{in}$ , 출력 전압을 $V_{out}$ 이라 하면, 주파수 도메인에서의 전달 함수는 다음과 같습니다:

$H(j\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1}{1 + j\omega RC}$

$\omega = 2\pi f$ : 각주파수(rad/s)

▫ 이득(Gain) 및 위상(Phase)

이득: $|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}$
위상: $\angle H(j\omega) = -\tan^{-1}(\omega RC)$

🖼️ 아래 두 그래프는 이득(dB)과 위상(도)의 주파수 응답을 보여줍니다.
RC Gain RC Phase response

🔹 Cutoff Frequency (차단 주파수)

RC 회로가 필터로 작동할 때, 주파수가 높아질수록 출력 신호가 감소합니다. 컷오프 주파수(cutoff frequency)는 필터가 신호를 감쇄시키기 시작하는 기준점으로, 이 주파수에서 출력 전압은 최대 입력 전압의 약 70.7% (-3dB)가 됩니다.

▫ 컷오프 주파수 정의

로우패스 RC 필터의 컷오프 주파수 $f_c$ 는 다음과 같이 정의됩니다:

$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$

$R$ : 저항 값 (Ohm)
$C$ : 커패시턴스 값 (Farad)
단위: Hz

이때의 전압 이득(Gain)은:

$|H(j\omega_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \ (\text{-3 dB})$

▫ 주파수 응답에서의 의미

컷오프 주파수는 필터의 전이 구간 시작점을 의미합니다:

$f < f_c$ : 거의 모든 신호가 통과 (Low attenuation)
$f > f_c$ : 점점 더 많은 신호가 감쇄됨

🖼️ 본문 주파수 응답 그래프에서 기울기 변화가 시작되는 지점이 바로 컷오프 주파수입니다.
cutoff frequency

▫ dB 기준 -3dB란?

전압 비율이 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 가 되는 지점은 로그 스케일에서는 다음과 같이 나타납니다:

$20 \log_{10} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -3.01\ \text{dB}$

따라서 이 점을 기준으로 차단점 (cutoff) 또는 -3dB point라고 부릅니다.

🔹 필터로서의 RC 회로

▫ 로우패스 필터

구조: $R \rightarrow C$ (출력은 C 양단)
역할: 낮은 주파수는 통과, 높은 주파수는 차단

▫ 하이패스 필터 (반대로 구성)

구조: $C \rightarrow R$ (출력은 R 양단)
역할: 높은 주파수는 통과, 낮은 주파수는 차단

🔹 주요 응용

RC 회로는 다음과 같은 분야에서 자주 사용됩니다.

아날로그 필터 회로 (LPF/HPF)
마이크로컨트롤러의 디지털 신호 디바운싱
ADC 입력 필터
발진기, 타이머 회로

🔹 정리

RC 회로는 시간과 주파수 응답에서 매우 직관적이고 중요한 역할을 하며, 다양한 전자회로의 기초가 되는 블록입니다. 시정수 $\tau = RC$ 를 기준으로 동작 속도와 필터링 특성을 이해할 수 있고, 직렬 구조는 로우패스 필터로, 반대 구조는 하이패스 필터로 사용할 수 있습니다.