인덕터의 원리와 전자기 수식의 유도

자속, 자계, B-H 곡선, 인덕턴스까지 전자기학적으로 완전 정리

전자기학에서 인덕터는 단순히 “전류의 변화를 방해한다”는 직관을 넘어서, 물리적인 개념들이 긴밀하게 연결된 정교한 시스템입니다. 본 글에서는 전류, 자기기전력(mmf), 자계강도(H), 자속밀도(B), 자속(Φ), 유도 전압(V), 인덕턴스(L)까지의 흐름을 수식 기반으로 유도하며 설명합니다.

인덕터의 원리와 전자기 수식의 유도

1️⃣ 전류 → 자기기전력 (mmf)

코일에 전류 $I$ 가 흐를 때, 그 자체로 자계를 만들어낼 수 있습니다. 이 자기장을 만들어내는 원인은 다음과 같이 표현됩니다:

$\mathcal{F} = N \cdot I$

$\mathcal{F}$ : 자기기전력(mmf), 단위 A·turn
$N$ : 코일의 권수
$I$ : 흐르는 전류

이는 전기 회로에서 전압 $V$ 이 전류를 흐르게 하는 것처럼, 자기 회로에서 mmf가 자속을 흐르게 합니다.

2️⃣ mmf → 자계강도 H

자기기전력은 자기 회로의 길이 $l$ 에 따라 자계강도 $H$ 로 분포됩니다:

$H = \frac{\mathcal{F}}{l} = \frac{N \cdot I}{l}$

$H$ : 자계강도 (A/m)
$l$ : 자기 회로의 길이 (m)

3️⃣ 자계강도 → 자속밀도 B

재료의 투자율 $\mu$ 에 따라 자계강도 $H$ 는 자속밀도 $B$ 를 생성합니다:

$B = \mu \cdot H$

$\mu = \mu_0 \cdot \mu_r$
- $\mu_0$ : 자유공간 투자율 ( $\approx 4\pi \times 10^{-7} \ \text{H/m}$ )
- $\mu_r$ : 상대 투자율 (재료 특성)

4️⃣ 자속밀도 B → 자속 $Φ$

코어 단면적 $A$ 를 통과하는 자속밀도 $B$ 는 전체 자속 $\Phi$ 로 환산됩니다:

$\Phi = B \cdot A$

$\Phi$ : 자속 (Wb)
$A$ : 단면적 (m²)

5️⃣ 자속의 시간 변화 → 유도 전압 V

자속이 시간에 따라 변하면 패러데이 법칙에 의해 유도 전압이 발생합니다:

$V = N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$

이는 인덕터가 전류의 변화율에 반응하여 전압을 만들어내는 기본 원리입니다. 이 원리는 보통 아래와 같이 표현됩니다:

$V = L \cdot \frac{dI}{dt}$

여기서 인덕턴스 $L$ 는 다음과 같이 정의됩니다:

$L = \frac{N \cdot \Phi}{I}$

6️⃣ 인덕턴스의 유도: 릴럭턴스와의 관계

앞서 유도한 자속 식을 다시 정리하면:

$\Phi = \frac{N \cdot I}{\mathcal{R}}$

$\mathcal{R} = \frac{l}{\mu A}$ : 자기회로의 릴럭턴스

이 자속을 인덕턴스 정의식에 대입하면:

$L = \frac{N \cdot \Phi}{I} = \frac{N}{I} \cdot \left( \frac{N \cdot I}{\mathcal{R}} \right) = \frac{N^2}{\mathcal{R}} = \frac{N^2 \cdot \mu A}{l}$

✅ 최종 정리: 수식 흐름 요약

단계	수식	의미
전류 → mmf	$\mathcal{F} = N \cdot I$	자계를 만드는 원인
mmf → 자계강도	$H = \frac{\mathcal{F}}{l}$	단위 길이당 자계
H → B	$B = \mu \cdot H$	재료에 따른 자속밀도
B → 자속	$\Phi = B \cdot A$	전체 자속량
자속 → 전압	$V = N \cdot \frac{d\Phi}{dt}$	유도 전압
인덕턴스	$L = \frac{N^2}{\mathcal{R}} = \frac{N^2 \cdot \mu A}{l}$	인덕터 특성 결정

🎓 보너스: 전기-자기 아날로지 비교

전기 회로	자기 회로
전압 $V$	mmf $\mathcal{F}$
전류 $I$	자속 $\Phi$
저항 $R$	릴럭턴스 $\mathcal{R}$
커패시턴스 $C$	투자율 $\mu$

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