DC(직류) 회로에서는 저항만 생각하면 회로 해석이 비교적 간단했습니다.
하지만 AC(교류) 회로에서는 전압과 전류가 시간에 따라 계속 변하기 때문에, 좀 더 체계적인 방법이 필요합니다.

이때 등장하는 개념이 바로 임피던스(impedance)와 페이저(phasor)입니다.
이 두 가지를 이해하면, 복잡해 보이는 교류 회로도 저항 회로처럼 간단하게 해석할 수 있습니다.

AC CIRCUIT ANALYSIS

교류(AC) 신호의 기본 특성

AC 신호는 대표적으로 사인파 형태를 가집니다.
시간에 따라 전압이나 전류가 주기적으로 변하는데, 예를 들어 전압은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v)$

$V_m$ : 전압의 최대값(peak voltage)
$\omega$ : 각주파수 ( $\omega = 2\pi f$ )
$\theta_v$ : 전압의 초기 위상(phase)

전류도 마찬가지로 사인파로 표현되지만, 전압과 위상이 다를 수 있습니다.

임피던스란 무엇인가?

교류에서는 커패시터와 인덕터가 저항처럼 전류를 방해합니다.
이 방해 정도를 임피던스(impedance)라고 부릅니다.

임피던스는 단위가 저항과 같은 옴( $\Omega$ )이고,
크기뿐 아니라 위상(방향)도 고려해야 해서 복소수(실수 + 허수) 형태로 표현합니다.

부품	임피던스 표현
저항(R)	$R$
인덕터(L)	$j\omega L$
커패시터(C)	$\frac{1}{j\omega C}$

여기서:

$j$ 는 허수 단위 ( $j^2 = -1$ )
$\omega = 2\pi f$ 는 각주파수(rad/s)

✅ 요약: 저항, 인덕터, 커패시터를 하나의 ‘복소수 저항’처럼 다룰 수 있습니다!

페이저(Phasor)란 무엇인가?

Phasor

페이저는 AC 신호의 진폭과 위상만을 표현하는 방식입니다.
시간 변수( $t$ )를 없애고, 복소수 하나로 신호를 표현합니다.

예를 들어, 시간 영역에서의 전압:

$v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta_v)$

를 페이저로 바꾸면:

$\vec{V} = V_m \angle \theta_v$

$\vec{V}$ 는 전압 페이저
진폭과 위상만 가지고 간단하게 회로를 해석할 수 있습니다.

페이저를 이용하면 복잡한 미분/적분 없이,
곱셈과 나눗셈만으로 교류 회로를 계산할 수 있습니다.

커패시터와 인덕터의 복소수 임피던스 요약

부품	시간 영역(전압/전류 관계)	페이저(임피던스)
저항( $R$ )	$v(t) = Ri(t)$	$Z_R = R$
인덕터( $L$ )	$v(t) = L\frac{di(t)}{dt}$	$Z_L = j\omega L$
커패시터( $C$ )	$i(t) = C\frac{dv(t)}{dt}$	$Z_C = \frac{1}{j\omega C}$

✅ 즉, 교류 회로에서는 커패시터와 인덕터도
저항처럼 계산할 수 있습니다.
단, 복소수 형태로 “크기 + 방향(위상)”을 모두 고려해야 합니다.

교류 회로 해석 흐름 정리

모든 소자(R, L, C)를 임피던스로 변환한다.
전압, 전류를 페이저로 표현한다.
옴의 법칙( $V = IZ$ )을 복소수로 적용한다.
필요한 경우 복소수 연산(나눗셈, 덧셈 등)을 수행한다.
최종 결과를 시간 영역으로 변환(필요시).

간단한 예제

문제:
주파수 60Hz에서, 10Ω 저항과 100μF 커패시터를 직렬로 연결했을 때 임피던스는?

풀이:

주어진 값:

$R = 10\ \Omega$
$C = 100\ \mu F = 100 \times 10^{-6}\ F$
$f = 60\ Hz \quad \Rightarrow \quad \omega = 2\pi f = 120\pi\ \text{rad/s}$

커패시터 임피던스:

$Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j 120\pi \times 100 \times 10^{-6}} \approx \frac{1}{j 0.0377} \approx -j26.5\ \Omega$

전체 임피던스:

$Z_{total} = R + Z_C = 10 - j26.5\ \Omega$

실수부 10Ω (저항)
허수부 -26.5Ω (커패시터 특성)

✅ 복소수 하나로 전체 회로를 간단히 표현할 수 있습니다!

마무리

교류 회로를 빠르고 정확하게 해석하려면:

임피던스를 복소수로 이해하고
페이저를 자유롭게 다루며
복잡한 미분/적분 없이 곱셈/나눗셈으로 처리하는 방법

을 익히는 것이 핵심입니다.

커패시터와 인덕터도 임피던스 하나로 표현할 수 있다는 점을 이해하면,
모든 교류 회로가 훨씬 단순하고 직관적으로 보이기 시작할 것입니다.

교류(AC) 회로 해석 – 임피던스와 페이저로 쉽게 푸는 방법